在数学分析中，我们常常处理的是连续函数，因为这种函数有着良好的性质，在微分与积分时可以得到比较好的结果。当然，我们偶尔也会处理仅在有限点处不连续的函数，它们在某些结果上从和连续函数并没有多大差别。
可是当考虑无限点处不连续的函数时，我们原有的方法失效了。一个典型的例子就是 f 在$\ [0,1]\ $上的Riemann积分，其中 f 形式如下所示：
也即该函数在无理点处取值为1，在有理点处取值为0。注意到这个函数在$\ [0,1]\ $上是Riemann不可积的。（这也促使我们需要从更高的观点来看待积分）
首先，我们将点集分为有限点集和无限点集：有限点集是很好处理的，重点是无限点集。这里我所说的“很好处理”，是指我们很容易判断一个集合的大小，有限点集的大小就是看这个集合中元素的个数，数数我们总是会的。而当我们面对一个无限点集时，我们并不好描述它的“无限”究竟是多么不加限制。
先从有限集合获取灵感：
1. 有限集合的大小定义为集合中元素的个数
2. 有限集合A，B的大小比较是通过比较两集合元素多少。笨一点的方法是我们挑出A中一个元素，发现B中也能挑出一个元素，再从A中不重复的挑出一个元素，发现B中也能挑出一个元素……直至其中一个集合再也不能挑出元素来（例如B已经宣布告罄了），那么我们认为$|A|\ge|B|$。
下面我们来给无穷点集进行更加精细的划分。
1. 按着原先通过数数来得到集合大小（元素多少）的思路，我们考虑一种集合，这种集合可以以某种方式特定的数数方式一直进行下去，以至于集合中任给一个元素都在某一次数数中被数到。自然数集显然就是我们所要求的集合。
2. 推广有限集合比较大小的思路，所谓“笨方法”其实就是再找两集合之间元素的一一映射（双射）。所以，对于两个无限集，我们如果能够找到一个双射，将两个集合的元素一一对应，那么我们可以认为这两个集合大小确实是相等的，且称这两个集合对等。
利用以上两点，我们得到了一类特殊的无限点集——这类点集与$\ \mathbb{N} \ $都是对等的，称为可列集或可数集。我们所熟知的有理数集$\ \mathbb{Q}\ $就是可数集。（而且如果你稍微思考一下，会发现这类无限点集应该是所有无限集中点的个数“最少”的了。）
这时候就有好奇宝宝要问了，那么这世界上有“不可数集”吗？答案是肯定的。Cantor给出了无理数不可数的证明。
满怀欣喜地发现无限点集可以分为可数集和不可数集，我们自然希望它们在某些性质上确实是有本质不同的。接下来我们可以从不太严谨的论述中看到这一点。
再赋予无限集多一点想象。现在从感觉上，可数集，不可数集和点密集到成区间的集合中都会有无穷多的点，但是我们还是难以体会其间关联与奥妙。没关系，这时候我们从“长度”（日后我们将其推广为测度）的观点来看待这个问题。我们过往常接触的区间都是有长度的。以闭区间$\ [a,b]\ $为例，它的长度就是$\ b-a\ $。既然如此，好奇宝宝可能又会问了：可数集的“长度”应该是多少呢？
可数集既然是“点最少”的无限集，看来所谓的“无限”也并不是没有限制，我们不妨大胆假设它的“长度”为0。转化为数学语言，下面给它一个稍微有点启发性的证明。
我们将可数集表示为$\ \{ a_k\}_{k\in \mathbb{N}}\ $。长度为0，也就是说它的长度要多小有多小（通过$\ \epsilon\ $的任意性来刻画）。为了计算方便，我们不妨用不相交的开区间盖住每个点，那么“点的长度”$\ m(a_k)\ $可以用开区间长度来逼近，令$\ a_k\ $对应的开区间长度不超过$\ \frac{\epsilon}{2^k}\ $（这总是可以做到的）：
将所有点的“长度”求和：
注：
- 这里“点的长度”的符号$\ m(a_n)\ $并不规范，只是为了描述方便。
- 这个证明反映了可数集无限的“有限性”：既然可数集与自然数对等，那么我们可以通过指标k来控制可数集中的每一个点，将这种限制加到每一个点的“长度”上，以期在求和之后仍能达到任意小的结果。
对于不可数集，情况则有所不同了。例如$\ [0,1]\ $上有理数集“长度”为0。对于不可数集，我们就不一定能得到这么好的结果了，事实上不可数集Cantor三分集“长度”为0，而$\ [0,1]\ $上无理数集“长度”为1。
注：
- 我们并没有得到关于可数集与不可数集的本质刻画。虽然可数集“长度”一定为0，但是反过来“长度”为0并不一定是可数集。
至此我们对无限集的理解又加深了一步。